Help with translation from German (citations from Hilbert and Weierstrass)

nicedream · #1 $Old$ September 12th, 2009, 07:02 AM

Help with translation from German (citations from Hilbert and Weierstrass)

Dear forum,

I'm doing a translation of the article "Remarks on the Prehistory of Sobolev Spaces" by J. Naumann. It's an interesting article for those who have interest in PDE and in history of mathematics. You can find it here: http://www.mathematik.hu-berlin.de/p...2002/P-02-2.ps

In the article there are a couple citations from the great Hilbert, Weierstrass and Friedrich, in their original languages of course (that is, german), so I don't have a clue of the meaning of those parts. I tried the automatic translation tools from google and other websites, but the results are bad. So I'm asking for help of anyone who knows german and could do me the favour of translating this into english. I think it should take a little more than 5 minutes, as the meaning of the setences should be clear and direct, as a mathematical texts usualy are.

Thank you very much in advance.

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Citation 1

A basic idea behind these works on minimum problems and eigenvalue problems for
partial differential equations consisted in introducing the bilinear form

$[u,v] := \int\limits_{\Omega} \left( \sum\limits_{i,j=1}^{N} \, a_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\,\, \frac{\partial v}{\partial x_{j}}+ buv \right) \, dx$

for $u,v$ in the space (2.2), extending this form from (2.2) onto its
completion (" ... to the ideal elements") and applying then methods from functional
analysis. With regard to eigenvalue problems, K. Friedrich wrote:

``Die erste Aufgabe ist, die Räume der zulässigen Funktionen anzugeben. Diese sind
nun zunächst keine Hilbertschen Räume; sie werden aber durch Adjunktion idealer
Elemente zu Hilbertschen Räumen fortgesetzt; wir verzichten darauf, diese idealen
Elemente durch nach Lebesgue quadratisch integrierbare Funktionen zu realisieren;
insbesondere deshalb, weil gezeigt werden kann, dass die "Eigenelemente", die vor
allem interessieren, doch schon den Ausgangsfunktionsräumen angehören.''
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Citation 2

The Gottingen school.

In [Hib 1; pp. 185-186], D. Hilbert wrote:

"Das folgende ist ein Versuch der Wiederbelebung des Dirichlet'schen Princips.
Indem wir bedenken, dass die Dirichletsche Aufgabe nur eine besondere Aufgabe der
Variationsrechnung ist, gelangen wir dazu, das Dirichlet'sche Princip in folgender
allgemeinerer Form auszusprechen: "Eine jede Aufgabe der Variationsrechnung besitzt
eine Losung, sobald hinsichtlich der Natur der gegebenen Grenzbedingungen geeignete
einschrankende Annahmen erfullt sind und notigenfalls der Begriff der Losung eine
sinngemasse Erweiterung erfahrt."

[paper submitted: Gottingen, den 11. Oktober 1899.]

This programmatic idea became part of the 20th problem of Hilbert's famous speech at
the International Congress of Mathematicians in 1900 (Paris)

20. Allgemeines Randwertproblem.
...

Ich bin uberzeugt, dass es moglich sein wird, diese Existenzbeweise durch einen
allgemeinen Grundgedanken zu fuhren, auf den das Dirichletsche Prinzip hinweist, und
der uns dann vielleicht in den Stand setzen wird, der Frage naher zu treten,
\begin{it} ob nicht jedes regulare Variationsproblem eine Losung besitzt, sobald
hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen \end{it} - etwa die
Stetigkeit und stuckweise oftere Differentierbarkeit der fur die Randbedingungen
massgebenden Funktionen - erfullt sind und notigenfalls der Begriff
der Losung eine sinngemasse Erweiterung erfahrt....

(cf. [Hib 2]; p. 119).
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Citation 3

1.1. In 1885, K. Weierstrass [Wei 2] published his famous result on the uniform
approximation of any continuous real function on an interval $[a,b]$
by polynominals. He began these investigations by the following observations:

"Ist $f(x)$ eine fur jeden reellen Werth der Veranderlichen $x$
eindeutig definierte, relle und stetige Function, deren absoluter Betrag eine endliche
obere Grenze hat, so gilt bekanntlich die nachstehnende Gleichung, in der $u$
ein zweite reelle Veranderliche bedeutet und unter $k$ eine von $x$
und $u$ unabhangige positive Grosse zu verstehen ist:

$\lim\limits_{k \rightarrow 0} \,\frac{1}{k\sqrt{\pi}}\int\limits^{+\infty}_{-\infty}f(u)e^{\textstyle - \left( \frac{u-x}{k}\right)^{2}} du = f(x) .$

Der in dieser Gleichung ausgesprochene Satz lasst sich leicht verallgemeinern.

Es werde irgend eine Function $\psi (x)$ von derselben Beschaffenheit
wie $f(x)$ angenommen, welche ihr Zeichen nicht andert, der Gleichung
$\psi (-x)=\psi (x)$ genugt und uberdies der Bedingung entspricht, dass
das Integral

$\int\limits^{+\infty}_{0}\psi (x) dx$

einen endlichen Werth haben muss, der mit $\omega$ bezeichnet werden moge. Setzt
man dann

$F(x,k)= \frac{1}{2k\omega}\int\limits^{+\infty}_{-\infty}f(u)\psi\left(\frac{u-x}{k}\right)du ,$
so ist

$\lim\limits_{k\rightarrow 0}F(x,k)= f(x)$

(cf [Wei 2; pp. 1-2]).
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